PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan "depan", sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan "samping" dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan "miring", maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen
Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.
Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :
Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis
c
s
c
(
θ
)
=
1
s
i
n
(
θ
)
Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis
s
e
c
(
θ
)
=
1
c
o
s
(
θ
)
Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis
c
o
t
(
θ
)
=
1
t
a
n
(
θ
)
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis
t
a
n
(
θ
)
=
s
i
n
(
θ
)
c
o
s
(
θ
)Contoh 1
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !
)
sehingga
c
o
t
(
θ
)
=
c
o
s
(
θ
)
s
i
n
(
θ
)
Contoh 1
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !
Penyelesaian :
Perhatikan segitiga ABC
AC =
√
(
√
3
)
2
+
1
2
= 2
Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) =
d
e
p
a
n
m
i
r
i
n
g
=
A
B
A
C
=
√
3
2
cos(α) =
s
a
m
p
i
n
g
m
i
r
i
n
g
=
B
C
A
C
=
1
2
tan(α) =
d
e
p
a
n
s
a
m
p
i
n
g
=
A
B
B
C
=
√
3
1
=
√
3
csc(α) =
m
i
r
i
n
g
d
e
p
a
n
=
A
C
A
B
=
2
√
3
=
2
√
3
3
sec(α) =
m
i
r
i
n
g
s
m
p
i
n
g
=
A
C
B
C
=
2
1
= 2
cot(α) =
s
a
m
p
i
n
g
d
e
p
a
n
=
B
C
A
B
=
1
√
3
=
√
3
3
Perhatikan segitiga PQR
QR =
√
(
√
2
)
2
−
1
2
= 1
Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) =
d
e
p
a
n
m
i
r
i
n
g
=
Q
R
P
R
=
1
√
2
=
√
2
2
cos(β) =
s
a
m
p
i
n
g
m
i
r
i
n
g
=
P
Q
P
R
=
1
√
2
=
√
2
2
tan(β) =
d
e
p
a
n
s
a
m
p
i
n
g
=
Q
R
P
Q
=
1
1
= 1
csc(β) =
m
i
r
i
n
g
d
e
p
a
n
=
P
R
Q
R
=
√
2
1
=
√
2
sec(β) =
m
i
r
i
n
g
s
a
m
p
i
n
g
=
P
R
P
Q
=
√
2
1
=
√
2
cot(β) =
s
a
m
p
i
n
g
d
e
p
a
n
=
P
Q
Q
R
=
1
1
= 1
Contoh 2
Jika tan(α) =
√
3
dan α sudut lancip, tentukan nilai dari
s
i
n
2
(
α
)
+
c
o
s
2
(
α
)
Penyelesaian :
tan(α) =
d
e
p
a
n
s
a
m
p
i
n
g
=
√
3
1
Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan =
√
3
samping = 1
Dengan teorema phytagoras
miring =
√
(
√
3
)
2
+
1
2
= 2
Berdasarkan definisi, kita peroleh
sin(α) =
√
3
2
cos(α) =
1
2
sin2(α) + cos2(α) = (
√
3
2
)2 + (
1
2
)2
sin2(α) + cos2(α) =
3
4
+
1
4
sin2(α) + cos2(α) = 1
Jadi, sin2(α) + cos2(α) = 1
Contoh 3
Jika sin(β) =
1
2
dan sudut β lancip, tentukan nilai dari
s
e
c
2
(
β
)
−
t
a
n
2
(
β
)
Penyelesaian :
sin(β) =
d
e
p
a
n
m
i
r
i
n
g
=
1
2
depan = 1
miring = 2
samping =
√
2
2
−
1
2
=
√
3
Sesuai definisi
sec(β) =
2
√
3
tan(β) =
1
√
3
sec2(β) − tan2(β) = (
2
√
3
)2 − (
1
√
3
)2
sec2(α) − tan2(α) =
4
3
−
1
3
sec2(α) − tan2(α) = 1
Jadi, sec2(β) − tan2(β) = 1
Contoh 4
Jika cos(γ) =
√
2
2
dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari
c
s
c
2
(
γ
)
−
c
o
t
2
(
γ
)
Penyelesaian :
cos(γ) =
s
a
m
p
i
n
g
m
i
r
i
n
g
=
√
2
2
samping =
√
2
miring = 2
depan =
√
2
2
−
(
√
2
)
2
=
√
2
Sesuai definisi
csc(γ) =
2
√
2
cot(γ) =
√
2
√
2
= 1
csc2(γ) − cot2(γ) = (
2
√
2
)2 − (1)2
csc2(γ) − cot2(α) = 2 − 1
csc2(γ) − cot2(α) = 1
Jadi, csc2(γ) − cot2(γ) = 1
Contoh 5
Diberikan segitiga ABC
⊥
B
dengan
∠
A
=
α
dan
∠
C
=
β
. Tunjukkan bahwa
s
i
n
(
α
)
=
c
o
s
(
90
∘
−
α
)
dan
c
o
s
(
β
)
=
s
i
n
(
90
∘
−
β
)
Penyelesaian :
Sesuai definisi, maka
sin(α) =
B
C
A
C
cos(β) =
B
C
A
C
Dari kedua persamaan diatas, maka
sin(α) = cos(β) ......................................(1)
∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + 90° + β = 180°
α + β = 90°
α = 90° − β .............................(2)
β = 90° − α .............................(3)
Substitusi (2) ke (1) diperoleh
sin(90° − β) = cos(β)
Substitusi (3) ke (1) diperoleh
sin(α) = cos(90° − α)
Komentar
Posting Komentar